Keberadaan Kontradiksi dalam Sejarah Matematika

Dalam mempelajari matematika, tentu kita juga belajar mengenai logika. Begitu pula dalam mempelajari logika, kita juga belajar apa itu kontradiksi. Seperti yang kita ketahui dalam logika matematika, kontradiksi merupakan suatu pernyataan majemuk dimana semua kemungkinan dari premisnya bernilai salah. Kontradiksi identik pada pembuktian. Seringkali pembuktian-pembuktian dalam teorema matematika dilakukan dengan kontradiksi. Ide dasar dari pembuktian dengan kontradiksi memang lebih simple dibandingkan dengan pembuktian lainnya. Jika kita ingin membuktikan suatu pernyataan itu benar, kita asumsikan ingkaran dari pernyataan yang akan kita buktikan lalu dari asumsi tersebut kita turunkan suatu kontradiksi. Jika kontradiksi dapat dicapai secara logika, asumsi tersebut terbukti salah sehingga pernyataan tersebut bernilai benar. Pembuktian melalui kontradiksi bukanlah sebuah argumen yang bernilai salah, namun sebaliknya jika dilakukan dengan benar merupakan argumen yang sah. Jika pembuktian yang kita kerjakan  menghasilkan kesalahan, kesalahan tersebut bukan terjadi pada cara pembuktiannya, namun pada proses penurunan kontradiksi tersebut. Itulah sedikit gambaran mengenai kontradiksi pada matematika seperti yang telah kita pelajari.

            Secara umum, kontradiksi diartikan sebagai dua hal atau ide yang bertentangan. Kontradiksi tidak hanya terdapat pada matematika, namun juga terdapat di bidang-bidang lain. Bentuk kontradiksi dalam bidang non matematis berbeda dengan bentuk kontradiksi dalam matematika. Salah satu bidang non matematis yang mengenal kontradiksi adalah sejarah. Peristiwa sejarah selalu mempunyai banyak sisi. Hal ini dikarenakan oleh adanya kepentingan-kepentingan serta adanya saksi yang tidak tunggal. Setiap orang bisa bebas mengartikan sejarah berdasarkan pandangan masing-masing. Pemerintah dengan kekuasaannya juga dapat menafsirkan sejarah yang sejalan dengan kepentingannya. Oleh karena itu, tidak mengherankan bila banyak kontradiksi yang ada dalam sejarah.

Kita telah mengetahui bagaimana bentuk kontradiksi yang terdapat pada logika matematika serta bagaimana bentuk kontradiksi yang terjadi pada sejarah. Bagaimana dengan kontradiksi dalam sejarah matematika? Kontradiksi menjadi salah satu bagian dari pembuktian-pembuktian yang dilakukan oleh para matematikawan. Salah satunya pembuktian secara logika matematika  yang dilakukan matematikawan pada zaman Yunani Kuno. Pembuktian mengenai akar kuadrat dua merupakan bilangan irasional. Pernyataan ini dapat dibuktikan dengan cara mengasumsikan sebaliknya bahwa  adalah bilangan rasional. Sehingga dapat kita nyatakan sebagai perbandingan bilangan bulat   dalam bentuk pecahan yang paling sederhana. Jika  = 2 maka a² = 2b² . ini berarti a² merupakan bilangan genap dan a merupakan bilangan genap pula. Karena  merupakan pecahan paling sederhana, maka b pasti bilangan ganjil. Namun karena a adalah bilangan genap maka b juga merupakan bilangan genap. Dan ini kintradiksi dengan pernyataan sebelumnya bahwa b pasti bilangan ganjil.  Karena asumsi awal bahwa  merupakan bilangan rasional mengakibatkan kontradiksi maka asumsi tersebut bernilai salah dan ingkaran dari pernyataan itu bernilai benar. Selain dalam logika matematika, kontradiksi juga mewarnai proses penemuan-penemuan yang dilakukan oleh matematikawan. Dalam hal ini, yang dimaksud adalah adanya ide atau gagasan penemuan yang bertentangan antara matematikawan yang satu dengan lainnya. Sedikit gambaran mengenai keberadaan kontradiksi dalam matematika, sejarah, dan sejarah matematika tersebut  mungkin belum cukup mewakili keberadaan kontradiksi di kehidupan kita. Pasti masih banyak lagi hal-hal yang memuat adanya kontradiksi yang tidak kita sadari berada dalam kehidupan kita sehari-hari.

Perjalanan Matematika di Beberapa Negara

Dari penemuan manusia terdahulu sampai dengan adanya teknologi canggih seperti saat ini , menjadikan Matematika sebagai pusat dalam kehidupan manusia. Langkah-langkah perjalanan matematika dimulai sejak adanya budaya Mesir Kuno, Mesopotamia, dan Yunani. Budaya-budaya itu yang menciptakan dasar dari bilangan dan perhitungan. Ketika Yunani Kuno jatuh dalam penurunan, kemajuan matematika berhenti. Tapi itu di barat, sedangkan di Timur matematika mulai mencapai puncak dan dinamis. Matematika dari bangsa timur mengubah matematika barat dan melahirkan dunia modern. Namun,sebenarnya Matematika dari bangsa barat juga memberikan pengaruh dalam perkembangan teori dalam matematika. Beberapa negara  yang berpengaruh dalam penciptaan karya matematika adalah Cina, India, Negara di Timur Tengah, dan Negara di Eropa.

1.       Cina

Cina terkenal dengan tembok besarnya. Tembok besar Cina merupakan bangunan yang memanjang hingga ribuan mil. Proses pembangunannya memakan hampir 2000 tahun dimulai dari 220 SM . Pada saat akan membangun, warga Cina mulai menyadari bahwa mereka harus membuat perhitungan untuk menentukan tentang jarak, sudut dan jumlah material digunakan. Matematika Cina Kuno merupakan sistem bilangan yang sangat sederhana yang menjadi dasar dari bilangan yang kita kenal saat ini. Ketika matematikawan akan melakukan perhitungan, ia menggunakan batang bambu kecil. Batang itu disusun untuk mewakili angka satu sampai sembilan. Batang itu ditempatkan pada kolom-kolom. Setiap kolom mewakili satuan dan puluhan, ratusan ribuan dan seterusnya. Seperti misalnya 924  , penulisannya adalah  , simbol 9 pada kolom ratusan, simbol 2 pada kolom puluhan dan  simbol 4 pada kolom satuan. Penulisan simbol tesebut dinamakan sistem penilaian desimal, mirip dengan yang kita gunakan saat ini. Cina Kuno tidak memiliki simbol nol. Jika mereka menggunakan batang, mereka akan menggunakan ruang kosong untuk menggambarkan simbol nol tersebut. Tanpa angka nol, jumlah angka hanya terbatas. Tidak adanya angka nol, tidak membuat Matematikawan Cina Kuno berhenti bekerja.

Menurut legenda, kedaulatan pertama Cina, Kaisar Kuning memiliki salah satu dewa yang menciptakan matematika pada 2800 SM. Sampai saat ini Cina masih mempercayai adanya kekuatan mistik pada angka. Angka ganjil dianggap sebagai pria dan genap sebagai wanita. Jumlah empat dihindari di semua biaya dan jumlah delapan mengisyaratkan keberuntungan. Matematika memainkan peranan penting dalam menjalankan  pengadilan Kaisar. Segala sesuatu dalam hidup kaisar diatur oleh kalender. Legenda mengatakan bahwa di 15 malam, kaisar harus tidur dengan 121 wanita yang terdiri dari 1 permaisuri,  3 istri senior, 9 istri, 27 selir dan 81 budak. Para matematikawan menyadari bahwa itu merupakan deret geometri. Setiap kelompok perempuan adalah 3 kali jumlah kelompok sebelumnya.

Orang Cina Kuno menerapkan metode persamaan untuk kegiatan perdagangan. Cina mengenal adanya teorema Sisa.Dalam Teorema Sisa Cina, Cina datang dengan masalah baru. Dalam hal ini kita tahu jumlah yang tersisa ketika persamaan yang tidak diketahui jumlahnya dibagi dengan angka yang diberikan. Tentu saja itu adalah masalah matematika abstrak. Tetapi Cina Kuno menulis dengan istilah praktis. Orang Cina Kuno menemukan cara menghitung matematis. Pada abad 6 teorema Sisa Cina digunakan dalam astronomi Cina Kuno untuk mengukur pergerakan planet. Dan hingga saat ini, masih memiliki manfaat praktis. Salah satunya pada Internet Kriptografi. Internet Kriptografimengkodekan nomor menggunakan matematika yang memiliki asal usul dalam Teorema Sisa Cina.

Masa keemasan matematika Cina tiba dan muncul istilah terpenting dalam matematika yang disebut Qin Jiushao. Qin Jiushao konon digambarkan sebagai harimau atau serigala yang keras. Selama sepuluh tahun , ia berjuang melawan Mongol.  Qin mulai mencoba untuk memecahkan persamaan yang tumbuh dari percobaan mengukur di dunia. Mesopotamia Kuno sudah menyadari bahwa persamaan sempurna untuk mengukur bangun datar dan bentuk dua dimensi seperti lapangan Tiananmen. Tapi Qin tertarik pada persamaan yang lebih rumit yaitu persamaan kubik. Qin menemukan cara memecahkan persamaan kubik. Pada awalnya Qin ingin mengetahui dimensi makam ketua Mao . Dia tahu volume bangunan dan hubungan antar dimensi. Untuk mendapatkan jawabannya, Qin menggunakan apa yang dia ketahui untuk menghasilkan persamaan kubik. Matematika merupakan ilmu pasti dan Qin tidak dapat menciptakan formula untuk memberikan solusi yang tepat pada persamaan yang rumit. Qin mengambil bit-bit dan menemukan persamaan kubik baru. Yang mengejutkan adalah Qin menemukan metode untuk memecahkan persamaan dan itu tidak ditemukan di barat sampai abad 17 ketika Isaac Newton datang hanya dengan pendekatan metode.

2.       India

Seperti Cina, India memiliki penemuan matematika dari sistem tempat nilai desimal dan telah menggunakannya hingga pertengahan abad ke-3. Mungkin orang India belajar sistem perhitungan dari para pedagang Cina yang bepergian di India. Kita mungkin tidak tahu bagaimana orang India datang dengan sistem bilangan mereka. Penemuan perhitungan di India sebagai salah satu intelektual terbesar yang berinovasi sepanjang masa berkembang menjadi hal yang paling dekat kita sebut dengan bahasa universal. Tapi ada satu bilangan yang hilang dan India yang  memperkenalkan kepada dunia.  Rekaman paling awal adalah pada abad ke-9. Ada angka baru yang terukir di dinding candi kecil di benteng Gwalior di India Tengah. Ada beberapa angka yang sudah dikenal dan ada angka baru yaitu nol. Orang India mengubah nol dari ruang kosong menjadi angka untuk perhitungan. Ide dan simbol bahwa orang India menggunakan angka nol berasal dari perhitungan yang mereka lakukan dengan batu di pasir.

Untuk orang India Kuno, konsep ketiadaan dan keabadian terletak pada sistem kepercayaan mereka. Dalam agama-agama di India, alam semesta lahir dari ketiadaan dan ketiadaan adlah tujuan utama mannusia. Jadi, mungkin tidak mengherankan bahwa budaya yang identik dengan kekosongan mendekati gagasan nol. Pada abad ke-7, matematikawan India , Brahmagupta membuktikan beberapa sifat penting dari nol. Seperti 1+0 = 1; 1-0 = 1 ; 1X0 = 0. Brahmagupta menemui kesulitan ketika mencoba menghitung 1 : 0 . Ini membutuhkan sifat matematika baru, yaitu infinity (bilangan tak terhingga). Sifat itu ditemukan Bhaskara, dimana bilangan jika dibagi nol hasilnya tak terhingga. Matematika India juga mengenal apa itu bilangan negatif. Kemampuan mereka menemukan bilangan negatif dan nol disebabkan mereka memikirkan bilangan sebagai entitas abstrak. Orang India juga menemukan sisi baru untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Brahmagupta menemukan angka negatif yang memungkinkan dia untuk melihat bahwa persamaan kuadrat memiliki 2 solusi , salah satunya berupa solusi negatif. Brahmagupta juga memecahkan persamaan kuadrat dua variabel. Brahmagupta mulai menemukan cara abstrak memecahkan persamaan tapi lebih menakjubkan dia menciptakan bilangan untuk mengekspresikan abstraksi itu.

Matematikawan India bertanggungjawab untuk membuat dasar baru dari teori trigonometri. Dalam trigonometri, untuk menemukan rasio dari sisi berlawanan ke sisi terpanjang adalah dengan menggunakan sudut. Orang India menggunakan fungsi Trigonometri untuk survei tanah, navigasi laut dan memetakan kedalaman ruang. Terobosan dalam pencarian fungsi sinus dari setiap sudut dibuat di Karala India Selatan pada abad ke-15. Karala merupakan bagian dari negara salah satu orang yang hebat dalam matematika. Pemimpin mereka adalah Madhava dan dia membuat beberapa penemuan matematika yang luar biasa. Konsep yang tak terbatas adalah kunci keberhasilan Madhava. Secara fisik dan filosofis, tampaknya lebih merupakan tantangan untuk menambahkan hal-hal tak terhingga banyaknya. Salah satu kekuatan matematika memang memahami hal yang mustahil. Jumlah tak terbatas disebut seri tak terbatas dan Madhava melakukan banyak penelitian ke dalam koneksi antara seri dan trigonometri. Madhava juga menggunakan bilangan tak hingga untuk menciptakan formula yang tepat untuk Pi.

3.       Timur Tengah

Pada abad ke-7 sebuah kerajaan baru mulai menyebar di Timur Tengah. Ajaran Nabi Muhammmad mengilhami luas dan kuat kerajaan islam yang segera membentang dari India ke Timur. Pada  kekaisaran Timur Tengah terletak budaya intelektual yang bersemangat. Direktur Rumah Kebijaksanaan di Baghdad adalah seorang sarjana Persia yang disebut Muhammad Al Khawarizmi. Al Khawarizmi adalah seorang matematikawan yang luar biasa dan bertanggungjawab untuk memperkenalkan dua kunci konsep matematika ke Barat. Al Khawarizmimengakui potensi yang luar biasa bahwa angka hindu memiliki makna untuk merevolusi matematika dan ilmu pengetahuan. Karyanya menjelaskan kekuatan angka-angka untuk mempercepat perhitungan dan melakukan hal-hal efektif. Bahkan, angka-angka kini terkenal sebagai angka Hindu-Arab. Al Khawarizmi menciptakan bahasa matematika yang baru yaitu aljabar. Buku Al Khawarizmi yang terkenal adalah Al-Jabr Wa’l Muqabala. Aljabar adalah tata bahasa yang mendasari cara kerja bilangan. Pada abad ke 11, Matematika Persia mengambil tantangan tentang masalah dari kubik. Matematikawan yang bekerja dalam persamaan kubik tersebut yaitu Omar Khayyam. Dia menemukan metode umum untuk memecahkan semua persamaan kubik. Omar Khayyam menganalisis masalah secara sistematis. Omar Khayyam juga menyebutkan ada beberapa macam persamaan kubik yang berbeda.

4.       Eropa

Selama berabad-abad dimana Cina, India dan kerajaan Islam telah di kekuasaan. Eropa telah jatuh di bawah bayangan abad kegelapan. Semua kehidupan intelektual termasuk studi matematika telah mengalami stagnasi. Namun pada abad ke-13 sesuatu telah mulai berubah. Dipimpin oleh Italia, Eropa mulai untuk mengeksplorasi perdagangan dengan bangsa Timur.  Fibonacci adalah matematikawan terbaik yang dikenal dengan penemuannya akan beberapa angka yang disebut dengan deret Fibonacci. Deret Fibonacci diciptakan ketika Fibonacci sedang memecahkan teka-teki tentang kebiasaan kawin kelinci. Angka Fibonacci merupakan angka favorit alam. Bukan hanya digunakan pada kelinci, namun juga jumlah kelopak pada bunga dimana selalu bernomor  fibonacci. Dimanapun kita menemukan pertumbuhan di alam, kita pasti akan menemukan bilangan Fibonacci.

Terobosan berikutnya dalam matematika Eropa adalah penemuan akan metode umum untuk memecahkan persamaan kubik seperti yang terjadi di Bologna Italia. Universitas Bologna adalah sebuah tempat belajar  yang mempelajari matematika mulai awal abad-16. Secara umum, diasumsikan bahwa tidak mungkin menemukan metode umum untuk menyelesaikan persamaan kubik. Namun, Tartaglia berpendapat bahwa asumsi tersebut salah. Pada usia 12 tahun wajah Tartaglia dilukai dengan pedang oleh tentara Perancis yang mengamuk. Hasilnya adalah bekas luka wajah yang mengerikan.  Bahkan Tartaglia diberi julukan sebagai anak gagap. Setelah dijauhi teman sekolahnya, Tartaglia kehilangan jiwanya dalam matematika dan tidak lama sebelum dia menemukan formula untuk menyelesaikan persamaan kubik. Namun Tartaglia menemukan bahwa dia bukan satu-satunya yang memecahkan persamaan kubik. Fior membual bahwa ia juga memegang rahasia untuk persamaan kubik. Setelah diketahui adanya dua penemu, maka diadakanlah kompetisi diantara keduanya. Masalahnya adalah Tartaglia hanya tahu bagaimana memecahkan satu jenis persamaan kubik dan Fior memberikan tantangan dengan pertanyaan untuk jenis persamaan yang berbeda. Tartaglia pun berhasil memecahkan bagaimana menyelesaikan persamaan yang berbeda tersebut hanya dengan waktu kurang dari 2 jam. Tartaglia melanjutkan penemuannya untuk memecahkan segala jenis persamaan kubik dan Tartaglia berhasil menemukannya.  Namun, apa yang dikerjakan Tartaglia tersebut diklaim oleh Cardano. Sampai saat ini rumus penyelesaian persamaaan kubik dikenal sebagai Rumus Cardano.

Sumber :

Video BBC, The Story of Math (2009)

Dibalik Lahirnya Bilangan Prima, Pi(π) , dan Imajiner

Jika kita mengenal matematika, tentunya kita juga mengenal bilangan. Karena bilangan merupakan bagian utama dari ilmu matematika. Menurut definisi, bilangan diartikan sebagai  suatu objek yang digunakan dalam pengukuran dan pencacahan. Seperti yang kita tahu, matematika memiliki sejarah begitu pula dengan bilangan. Bilangan juga memiliki sejarah.  Masyarakat  terdahulu menggunakan bilangan hanya untuk menghitung  jumlah bangsa. Namun dalam perkembangannya,  mereka memerlukan perhitungan dan penanggalan yang bisa digunakan untuk menandai adanya perubahan musim.  Namun seiring bergulirnya waktu, masyarakat juga memerlukannya untuk kegiatan perdagangan , keuangan, dan juga pemungutan pajak. Dalam perkembangan selanjutnya, bangsa Hindu-Arab Kuno memuat penulisan mengenai simbol bilangan. Nah, simbol itulah yang menjadi bibit dalam penulisan simbol bilangan seperti yang kita jumpai dan kita gunakan saat ini. Bilangan itu bermacam-macam. Tiga diantara bermacam-macam bilangan itu adalah bilangan prima, bilangan Pi (π) , dan bilangan imajiner. Masing-masing bilangan itu mempunyai sejarah. Dalam tulisan ini, saya akan mengulik sedikit mengenai sejarah ketiga bilangan tersebut.

Kita tentu tahu apa itu bilangan prima dan bagaimana cirinya. Bilangan prima merupakan bilangan yang lebih dari 1 dan hanya bisa dibagi dengan 1 dan bilangan itu sendiri. ­Manusia telah mengenal bilangan prima sejak 6500 Sebelum Masehi. Pembuktian bilangan prima ada pada penemuan Tulang Ishango di sungai Nil (timur laut Kongo). Tulang Ishango berisi sederetan tanda lidi yang digoreskan di tiga lajur memanjang pada tulang itu. Salah satunya memiliki 11,13,17,dan 19 tanda lidi, dan itu merupakan bilangan prima antara 10 hingga 20. Ada beberapa matematikawan yang berpengaruh dalam perkembangan bilangan prima. Salah satunya adalah Eratosthenes. Beliau adalah orang yang menemukan cara untuk mencari bilangan prima pada abad ke-3 Sebelum Masehi. Cara tersebut dikenal dengan nama Saringan Eratosthenes. Eratosthenes merupakan salah satu matematikawan yang memberikan sumbangan terpenting dalam matematika dan ilmu sains.

Selain bilangan prima, kita juga mengenal bilangan Pi. Simbol bilangan Pi adalah π . Mungkin tidak semua orang tahu akan sejarah bilangan Pi. Penggagas pertama bilangan Pi adalah Archimedes . Dengan sederhananya beliau melakukan sebuah percobaan dengan merentangkan tali untuk mengukur keliling sebuah lingkaran, lalu beliau pun mengukur diameternya. Nah, yang disebut nilai Pi itu adalah perbandingan antara keliling lingkaran dan diameternya itu. Memang terlihat simpel. Itulah yang dilakukan orang terdahulu dalam menemukan Pi. Mungkin pada waktu kita SD , guru kita mengajarkan bahwa nilai Pi itu  . Namun perlu kita ketahui, Pi bernilai   hanyalah sebuah pendekatan. Jika kita hitung  itu hasilnya adalah 3,142857142857142857 ... sedangkan π(Pi) itu bernilai 3,141592653589793238 ... Tentu saja nilai   itu lebih besar dari nilai bilangan Pi yang sebenarnya.

Salah satu bilangan yang menarik adalah bilangan imajiner. Kita mungkin sering menjumpai bilangan tersebut ketika kita sedang memecahkan sebuah persamaan kuadrat. Misalnya persamaan x²= -1, keberadaan bilangan imajiner itu tidak dapat dihindari lagi. Bilangan imajiner juga mempunyai sejarah. Bilangan imajiner sendiri dapat disebut sebagai musibah aljabar. Kisahnya berawal dari Chequet yang menyebut bahwa fenomena seperti persamaan x²= -1 itu tidak mungkin terjadi. Sedangkan, Aljabar dari Newton menyatakan bahwa persamaan dengan solusi suatu akar atau dua bilangan negatif adalah mungkin, tetapi tidak mungkin apabila hasil akar keduanya negatif. Cardano juga merombak pemikiran diatas dengan cara berpikir yang berbeda. Namun, semua itu dituntaskan oleh Gauss dengan membuat Sistem Koordinat Kartesian dengan format a+bi menempatkan bilangan imajiner pada sistem koordinatnya, dimana i adalah   . Format persamaan tersebut disebut dengan bilangan kompleks.

Dapat kita ketahui bahwa ada sejarah di setiap bilangan-bilangan dalam matematika. Kita juga melihat bagaimana bilangan itu bisa ada dan sumbangsih dari para matematikawan dalam mengembangkan ilmu matematika terutama teori mengenai bilangan seperti yang kita pelajari hingga saat ini.

Sumber :

http://www.mate-mati-kaku.com

http://home.unpar.ac.id

http://okemath.wordpress.com